xのx乗を積分してみた - Logistic Pathology

$x^x, x^{-x}, \sqrt[x]{x}$ などの関数の不定積分は初等関数で表せないことが分かっています。それを級数として求めたものが以下です。

$\begin{align}\displaystyle \int x^x\,dx&=-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^n(\ln x)^k}{k!(-n)^{n-k}}+C\\ \int x^{-x}\,dx&=+\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^n(-\ln x)^k}{k!n^{n-k}}+C \\ \int \sqrt[x]{x}\,dx&=x+\frac{(\ln x)^2}{2}-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{n+1}\frac{(\ln x)^k}{x^nk!n^{n+2-k}}+C \end{align}$

求め方

それぞれの関数をマクローリン展開すると以下のようになります。

$\displaystyle x^x=\exp(x\ln x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\ln x)^n}{n!}$

$\displaystyle x^{-x}=\exp(-x\ln x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(-\ln x)^n}{n!}$

$\displaystyle \sqrt[x]{x}=\exp\left(\frac{\ln x}{x}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln x)^n}{x^n n!}$

右辺の級数は項別積分可能なので、項別積分の結果から一般項を推測し、微分によって証明を得ました。

証明

微分によって証明します。
かなり長くなるので、証明を見たい方は↓をクリックしてください。

クリックで展開

定積分

上の公式より、

$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{e}x^xdx=-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e^n-(-1)^ke^{-n}}{k!(-n)^{n-k}}$

となります。
不完全ガンマ関数 $\displaystyle \Gamma(a,x)=\int_x^\infty t^{a-1}e^{-t}dt$ について

$\displaystyle \Gamma(n+1,x)=e^{-x}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}x^k$

が成り立つ*1ので、

$\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e^n}{k!(-n)^{n-k}}&=\frac{\Gamma(n,-n)}{(-n)^n(n-1)!}\\ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^ke^{-n}}{k!(-n)^{n-k}}&=\frac{\Gamma(n,n)}{(-n)^n(n-1)!}\end{align}$

であるから、

$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{e}x^xdx=\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(n,n)-\Gamma(n,-n)}{(-n)^n(n-1)!}$

が成り立ちます。
また、
$\begin{align}\Gamma(n,n)-\Gamma(n,-n)&=\int_{n}^\infty t^{n-1}e^{-t}dt-\int_{-n}^\infty t^{n-1}e^{-t}dt\\ &=\int_n^\infty t^{n-1}e^{-t}dt+\int_\infty^{-n}t^{n-1}e^{-t}dt\\ &=\int_{n}^{-n}t^{n-1}e^{-t}dt\end{align}$

より、

$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{e}x^xdx=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(-n)^n(n-1)!}\int_{-n}^nt^{n-1}e^{-t}dt$

が成り立ちます。
同様にして

$\displaystyle{\int_\frac{1}{e}^{e}x^{-x}dx\\ =\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(n,-n)-\Gamma(n,n)}{n^n(n-1)!}\\ =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^n(n-1)!}\int_{-n}^nt^{n-1}e^{-t}dt}$

$\displaystyle{\int_\frac{1}{e}^{e}(\sqrt[x]{x}-1)\,dx\\ =\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(n+2,-n)-\Gamma(n+2,n)}{n^{n+2}(n+1)!}\\ =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{n+2}(n+1)!}\int_{-n}^nt^{n+1}e^{-t}dt}$

も成り立ちます。

*1:https://www.maths.lancs.ac.uk/jameson/gammainc.pdf