加法、乗法、冪乗を一般化したハイパー演算子という概念があります。 と表され、非負整数 の値によって演算が変わります。 具体的には といった具合です。 で加法、 で乗法、 で冪乗ですね。 の場合について、 はテトレーションと呼ばれます。 加法の繰り返…

突然ですが、以下の式について考えてみましょう。 両辺で総和と総乗が等しくなっている美しい関係です。 今回は、このような関係について考察していきます。*1 冒頭の式と似た関係が成り立つ式を探してみたところ、以下が見つかりました。 法則が見えてきま…

の不定積分を導出してみました。 の不定積分を導出した時↓と同様のやり方です。 wolfram.hatenablog.jp 結果がこちら。 ただし はベル数。ベル数についてはWikipediaには以下のように書いてあります。 n個のものを分割（もしくはグループ化）する方法の総数…

以下の関数は、Infinite Power TowerやIterated Exponentialと呼ばれる関数です。日本語での定まった名称はありませんが、ここでは無限反復指数関数と呼ぶことにします。 一見不気味なこの関数ですが、実は の範囲で収束することが知られており、その収束値…

などの関数の不定積分は初等関数で表せないことが分かっています。それを級数として求めたものが以下です。 求め方 それぞれの関数をマクローリン展開すると以下のようになります。 右辺の級数は項別積分可能なので、項別積分の結果から一般項を推測し、微分…

数学の独自研究について書き連ねる予定です。 基本的に内容に適切な証明を与えていないので、記述の正確性には自信がありません。どなたか内容の補強や訂正を行って下さると嬉しいです。 wolfram.hatenablog.jp