総和総乗等式 - Logistic Pathology

突然ですが、以下の式について考えてみましょう。

$\begin{align}2+2&=2\times 2\\ 1+2+3&=1\times 2\times 3\end{align}$

両辺で総和と総乗が等しくなっている美しい関係です。
今回は、このような関係について考察していきます。*1

冒頭の式と似た関係が成り立つ式を探してみたところ、以下が見つかりました。

$\begin{align}1+1+2+4&=1\times 1\times 2 \times 4=8\\ 1+1+1+2+5&=1\times 1\times 1\times2 \times 5=10\\ 1+1+1+1+2+6&=1\times 1\times 1\times 1\times 2 \times 6=12\end{align}$

法則が見えてきましたね。
項が $j$ 個の時は $1$ が $(j-2)$ 個、 $2$ と $j$ が1個ずつで、総和と総乗は $2j$ に等しいです。
ここから以下のように一般化できます。

2以上の自然数 $j$ について、

$x_i=\begin{cases} j & (i=1)\\ 2 & (i=2)\\ 1 & (i>2)\end{cases}$

とすると

$\displaystyle \sum_{i=1}^j x_i=\prod_{i=1}^j x_i =2j$

が成り立つ。

$\displaystyle \sum_{i=1}^j x_i=1\times(j-2)+2+j=2j\\ \displaystyle \prod_{i=1}^j x_i=1^{j-2}\times 2\times j=2j$

となるので、確かに成り立っています。

さらなる一般化

この式をさらに一般化してみましょう。
具体的には、

$1\times(j-2)+2+j=1^{j-2}\times 2\times j=2j$

における $2$ を別の自然数に変えてみます。
すると、以下のような関係が成り立ちます。

$\begin{align}1\times(2j-3)+3+j&=1^{2j-3}\times 3\times j=3j\\ 1\times(3j-4)+4+j&=1^{3j-4}\times 4\times j=4j\\ 1\times(4j-5)+5+j&=1^{4j-5}\times 5\times j=5j\\ &\vdots\\ 1\times((k-1)j-k)+k+j&=1^{(k-1)j-k}\times k\times j=jk\end{align}$

$1$ が $((k-1)j-k)$ 個、 $k$ と $j$ が1個ずつあります。
よって項の総数は $(jk-j-k+2)$ 個で、総和と総乗は $jk$ に等しいです。
ここから以下のように一般化できます。

2以上の自然数 $j,k$ について、

$y_i=\begin{cases} j & (i=1)\\ k & (i=2)\\ 1 & (i>2)\end{cases}$

$l=jk-j-k+2$

とすると

$\displaystyle \sum_{i=1}^l y_i=\prod_{i=1}^l y_i =jk$

が成り立つ。

最初に求めた式はこの式の $k=2$ の場合として表されますね。

さらなる一般化２

最初に求めた式において変数は $j$ の1つ、次に求めた式において変数は $j,k$ の2つでした。

これを $n$ 個の変数を取るように一般化をすると、次のようになります。

自然数 $a_1, a_2, \ldots ,a_n$ について、

$z_i=\begin{cases} a_1 & (i=1)\\ a_2 & (i=2)\\ &\vdots\\ a_n & (i=n)\\ 1 & (i>n)\end{cases}$

とする。

$\displaystyle m=\prod_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i\geq 0$

を満たすとき

$\displaystyle \sum_{i=1}^{m+n} z_i=\prod_{i=1}^{m+n} z_i =\prod_{i=1}^n a_i$

が成り立つ。

$\displaystyle \begin{align}\sum_{i=1}^{m+n} z_i&=\sum_{i=1}^n z_i+\sum_{i=1+n}^{m+n} z_i\\ &=\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1+n}^{m+n} 1\\ &=\sum_{i=1}^n a_i+m\\ &=\sum_{i=1}^n a_i+\prod_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i\\ &=\prod_{i=1}^n a_i\end{align}$

$\displaystyle \begin{align}\prod_{i=1}^{m+n} z_i&=\left(\prod_{i=1}^n z_i\right)\left(\prod_{i=1+n}^{m+n} z_i\right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\left(\prod_{i=1+n}^{m+n} 1\right)\\ &=\prod_{i=1}^n a_i\end{align}$

となるので、確かに成り立っています。

ここで注意があります。 $m<1$ の時、 $m+n<1+n$ となるので、
総和と総乗を上のように分割することはできません。
よって、この式が成り立つのは $m\geq 1$ の時です。

しかし、 $m=0$ の時は $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i=\prod_{i=1}^n a_i$ より

$\displaystyle \begin{align}\sum_{i=1}^{0+n} z_i&=\sum_{i=1}^n a_i\\ &=\prod_{i=1}^n a_i\\ \prod_{i=1}^{0+n} z_i&=\prod_{i=1}^n a_i\end{align}$

となるので、成り立ちます。
結局、この式は $m\geq 0$ の時に成り立つということが分かります。
最初に求めた式はこの式の $n=2,\,a_2=2$ の場合として表されますね。

この式を総和総乗等式と名付けましょう。

おまけ

この $z_i$ は、クロネッカーのデルタを用いて表すことが出来ます。

クロネッカーのデルタとは以下のような記号です↓

$\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & (i=j)\\ 0 & (i\neq j)\end{cases}$

これを用いると、 $z_i$ は以下のように表されます。

$\displaystyle \begin{align}z_i&=\prod_{j=1}^n {a_j}^{\delta_{ij}}\\ &=\displaystyle 1+\sum_{j=1}^n ({a_j}^{\delta_{ij}}-1)\\ &=\displaystyle 1+\sum_{j=1}^n \delta_{ij}(a_j-1)\end{align}$

まとめ

$\displaystyle \begin{align}z_i&=\prod_{j=1}^n {a_j}^{\delta_{ij}}\\ &=\displaystyle 1+\sum_{j=1}^n ({a_j}^{\delta_{ij}}-1)\\ &=\displaystyle 1+\sum_{j=1}^n \delta_{ij}(a_j-1)\end{align}$

ただし $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ。

*1:なお、特に断りがない限りこの記事に出てくる変数は全て自然数とします。