Logistic Pathology

加法、乗法、冪乗を一般化したハイパー演算子という概念があります。
$\textrm{hyper}(a,n,b)$ と表され、非負整数 $n$ の値によって演算が変わります。
具体的には

$\textrm{hyper}(a,1,b)=a+b$
$\textrm{hyper}(a,2,b)=ab$
$\textrm{hyper}(a,3,b)=a^b$

といった具合です。
$n=1$ で加法、 $n=2$ で乗法、 $n=3$ で冪乗ですね。

$n=4$ の場合について、 $\textrm{hyper}(a,4,b)$ はテトレーションと呼ばれます。
加法の繰り返しで乗法、乗法の繰り返しで冪乗となるように、テトレーションは冪乗を繰り返した演算で、一般的にその計算結果は非常に大きくなります。

例えば、 $\textrm{hyper}(3,4,5)=^53=3^{3^{3^{3^3}}}$ です。

同様にして $n=5,6,7,\ldots$ の場合も考えられますが、その計算結果はテトレーションよりも遥かに大きくなります。 $n$ が増えるほど計算結果が爆発的に大きくなるのがハイパー演算子の特徴です。

$n=0$ の場合は？
実は $\textrm{hyper}(a,0,b)=b+1$ となります。 $a$ は関係ないんですね。
詳しくは説明しませんが、再帰的に定義するにあたってこれが都合良いようです。

ハイパー演算子は、次のように再帰的に定義されます。

$\textrm{hyper}(a,n,b)=\begin{cases}b+1&(n=0)\\ a &(n=1,b=0)\\ 0 &(n=2,b=0)\\ 1 &(n\geq 3,b=0)\\ \textrm{hyper}(a,n-1,\textrm{hyper}(a,n,b-1))&(n\geq 1,b\geq 1)\end{cases}$

特殊な場合

$a=b=2$ のとき、以下の式が成り立ちます。

$\textrm{hyper}(2,n,2)=\begin{cases}3&(n=0)\\4&(n\geq 1)\end{cases}$

これを確かめてみます。

$\begin{align}\textrm{hyper}(2,0,2)&=2+1=3\\ \textrm{hyper}(2,1,2)&=2+2=4\\ \textrm{hyper}(2,2,2)&=2\times 2=4\\ \textrm{hyper}(2,3,2)&=2^2=4\\ \textrm{hyper}(2,4,2)&=^22=2^2=4\end{align}$

確かに成り立っていますね。

証明

再帰的定義を用いてこれを証明します。
以下、 $\textrm{hyper}(a,n,b)$ を $\textrm{h}(a,n,b)$ と簡略化します。

$n=0$ のとき、定義より自明。
$n\geq 3$ のとき
$\begin{align}\textrm{h}(2,n,1)&=\textrm{h}(2,n-1,\textrm{h}(2,n,0))\\ &=\textrm{h}(2,n-1,1)\hspace{40pt}\cdots(1)\end{align}$

$\begin{align}\textrm{h}(2,2,1)&=\textrm{h}(2,1,\textrm{h}(2,2,0))\\ &=\textrm{h}(2,1,0)\\&=2\hspace{90pt}\cdots(2)\end{align}$

$(1)(2)$ より、 $n\geq 2$ のとき $\textrm{h}(2,n,1)=2$

$n\geq 2$ のとき
$\begin{align}\textrm{h}(2,n,2)&=\textrm{h}(2,n-1,\textrm{h}(2,n,1))\\ &=\textrm{h}(2,n-1,2)\hspace{40pt}\cdots(3)\end{align}$

$\begin{align}\textrm{h}(2,1,2)&=\textrm{h}(2,0,\textrm{h}(2,1,1))\\ &=\textrm{h}(2,0,\textrm{h}(2,0,\textrm{h}(2,1,0)))\\ &=\textrm{h}(2,0,\textrm{h}(2,0,2))\\ &=\textrm{h}(2,0,3)\\&=4\hspace{90pt}\cdots(4)\end{align}$

$(3)(4)$ より、 $n\geq 1$ の時 $\textrm{h}(2,n,2)=4$
よって示された。

$a=b=3$ のときは

$\begin{align}\textrm{hyper}(3,1,3)&=6\\ \textrm{hyper}(3,2,3)&=9\\ \textrm{hyper}(3,3,3)&=27\\ \textrm{hyper}(3,4,3)&=7625597484987\end{align}$

と非常に大きくなっていくのに対して、 $a=b=2$ のときは

$\begin{align}\textrm{hyper}(2,1,2)&=4\\ \textrm{hyper}(2,2,2)&=4\\ \textrm{hyper}(2,3,2)&=4\\ \textrm{hyper}(2,4,2)&=4\end{align}$

とずっと変わりません。不思議ですね。